高中数学必修5配套练习 正弦定理和余弦定理 第2课时

第一章　1.1　第2课时
一、选择题
1．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
[答案]　C
[解析]　cosB＝＝＝，
∴B＝60°.
2．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于(　　)
A． B．
C．3 D．4
[答案]　A
[解析]　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×＝3，
∴c＝.
3．在△ABC中，若aA．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
[答案]　B
[解析]　∵c2∵a4．(2013·天津理，6)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)
A． B．
C．　 D．
[答案]　C
[解析]　本题考查了余弦定理、正弦定理．
由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos
＝2＋9－2××3×＝5.∴AC＝.
由正弦定理，得＝，
∴sinA＝＝＝.
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则角B的值为(　　)
A． B．
C．或　 D．或
[答案]　D
[解析]　依题意得，·tanB＝，
∴sinB＝，∴B＝或B＝，选D．
6．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)
A． B．
C．　 D．
[答案]　D
[解析]　设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，
由余弦定理得
cosA＝＝，
故选D．
二、填空题
7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角)
[答案]　锐角
[解析]　由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cosα＝＝>0，因此0°<α<90°.故填锐角．
8．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则sinA＝________.
[答案]　
[解析]　∵c2＝a2＋b2－2abcosC
＝52＋32－2×5×3×cos120°＝49，
∴c＝7.
故由＝，得sinA＝＝.
三、解答题
9．在△ABC中，已知sinC＝，a＝2，b＝2，求边C．
[解析]　∵sinC＝，且0当C＝时，cosC＝，
此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，即c＝2.
当C＝时，cosC＝－，
此时，c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，即c＝2.
10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，b＋c＝4，求bc的值．
[解析]　(1)根据正弦定理
2b·cosA＝c·cosA＋a·cosC可化为
2cosAsinB＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosA＝，
∵0°(2)由余弦定理，得
7＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，
把b＋c＝4代入得bc＝3.
一、选择题
1．在△ABC中，若AB＝－1，BC＝＋1，AC＝，则B的度数为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
[答案]　C
[解析]　∵cosB＝
＝＝，∴B＝60°.
2．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于(　　)
A．－ B．－
C．　 D．
[答案]　D
[解析]　∵·＝||·||·cos<，>，由向量模的定义和余弦定理可以得出||＝3，||＝2，cos<，>＝＝.
故·＝3×2×＝.
3．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　　)
A． B．
C． D．3
[答案]　B
[解析]　如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4.∵cosA＝＝，
∴sinA＝.
故BD＝AB·sinA＝3×＝.
4．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为(　　)
A． B．
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得cosC＝＝＝，
∵0二、填空题
5．在△ABC中，已知sinAsinBsinC＝456，则cosAcosBcosC＝________.
[答案]　1292
[解析]　由正弦定理，得＝＝，得abc＝sinAsinBsinC＝456，
令a＝4k，b＝5k，c＝6k(k>0)，
由余弦定理得
cosA＝＝，
同理可得cosB＝，cosC＝，
故cosAcosBcosC＝＝1292.
6．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又最大角的正弦等于，则三边长为__________．
[答案]　3,5,7
[解析]　∵a－b＝2，b－c＝2，∴a>b>c，
∴最大角为A．sinA＝，∴cosA＝±，
设c＝x，则b＝x＋2，a＝x＋4，
∴＝±，
∵x>0，∴x＝3，故三边长为3,5,7.
三、解答题
7．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝2，c＝3，cosB＝.
(1)求边b的值；
(2)求sinC的值．
[解析]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB
＝4＋9－2×2×3×＝10，
∴b＝.
(2)∵cosB＝，∴sinB＝.
由正弦定理，得sinC＝＝＝.
8．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.
(1)求a、c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
[解析]　(1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，
又已知a＋c＝6，b＝2，cosB＝，∴ac＝9.
由a＋c＝6，ac＝9，解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，∵cosB＝，
∴sinB＝＝.
由正弦定理，得sinA＝＝，
∵a＝c，∴A为锐角，∴cosA＝＝.
∴sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.