课时达标检测（二十） 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
一、选择题
1．已知向量＝(1，－2)，＝(－3,4)，则等于( )
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(2,3) D．(－2，－3)
答案：A
2．已知a＝(－5,6)，b＝(－3,2)，c＝(x，y)，若a－3b＋2c＝0，则c等于( )
A．(－2,6) B．(－4,0)
C．(7,6) D．(－2,0)
答案：D
3．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，若ma＋nb＝(10,0)(m，n∈R)，则( )
A．m＝2，n＝4 B．m＝3，n＝－2
C．m＝4，n＝2 D．m＝－4，n＝－2
答案：C
4．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于( )
A．2 B．1
C. D.
答案：A
5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
答案：D
二、填空题
6．已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.
答案：或－
7．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解成λ1e1＋λ2e2的形式为________．
答案：a＝e1＋e2
8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC＝.设＝
λ＋ (λ∈R)，则λ＝ ________.
答案：
三、解答题
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－，求点C，D和的坐标．
解：设C(x1，y1)，D(x2，y2)．由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，
＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)．
则有
解得
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
因此＝(－2，－4)．
10．已知三点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，点P满足＝＋λ (λ∈R)．
(1)λ为何值时，点P在正比例函数y＝x的图象上？
(2)设点P在第三象限，求λ的取值范围．
解：设P点坐标为(x1，y1)，则＝(x1－2，y1－3)．
＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)，
即＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)，
由＝＋λ，
可得(x1－2，y1－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
则解得
∴P点的坐标是(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)令5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝，
∴当λ＝时，P点在函数y＝x的图象上．
(2)因为点P在第三象限，∴解得λ＜－1，
∴λ的取值范围是{λ|λ＜－1}．
11．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示．
(1)证明：对任意向量a，b及常数m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；
(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；
(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q是常数)的向量c的坐标．
解：(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，
∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)
＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，
∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．
(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，
f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(3)设c＝(x，y)，
则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，
∴y＝p,2y－x＝q，
∴x＝2p－q，
即向量c＝(2p－q，p)．