第三讲 柯西不等式与排序不等式
3.1 二维形式的柯西不等式
3.2 一般形式的柯西不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝＋2的最大值是( )
A. B.
C．3 D．5
解析：根据柯西不等式，知y＝1·＋2·≤·＝.
答案：B
2．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为( )
A．4 B．2
C．8 D．9
解析：(a2＋b2)(32＋22)≥(3a＋2b)2，3a＝2b时取等号，
所以(3a＋2b)2≤4×13.当3a＋2b取最大值时为正值
所以3a＋2b≤2.
答案：B
3．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是( )
A．2 B.
C．6 D．12
解析：(＋)2＝(1·＋1·)2≤(12＋12)·(4a＋1＋4b＋1)＝24(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，
当且仅当＝，即a＝b时等号成立．
答案：D
4．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是( )
A．1 B.
C．3 D．9
解析：由柯西不等式得()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，所以(＋＋)2≤3×1＝3.
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
所以＋＋的最大值为.故选B.
答案：B
5．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．不确定
解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，
当且仅当ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时等号成立．
所以a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.
答案：A
二、填空题
6．(2015·重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
解析：因为a，b＞0，a＋b＝5，所以(a＋1)＋(b＋3)＝9.
令x＝a＋1，y＝b＋3，则x＋y＝9(x＞1，y＞3)，
于是＋＝＋，而(＋)2＝x＋y＋2≤x＋y＋(x＋y)＝18，
所以＋≤3.
此时x＝y，即a＋1＝b＋3，结合a＋b＝5可得a＝3.5，b＝1.5，
故当a＝3.5，b＝1.5时，＋的最大值为3.
答案：3
7．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．
解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)×(x2＋y2＋z2)≥(1·x＋1·y＋1·z)2＝(x＋y＋z)2＝，当且仅当x＝y＝z时等号成立．
答案：
8．已知a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为________．
解析：由柯西不等式得
(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝34(a＋b＋c)＋3]＝21，
当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
故＋＋的最大值为.
答案：
三、解答题
9．若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.
(1)求abc的最大值；
(2)证明：＋＋≥.
(1)解：因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立，所以abc的最大值为.
(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝(a＋b＋c)＝()2＋()2＋()2]·≥
＝.
所以＋＋≥.
10．已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值．
解：由柯西不等式
(2x2＋3y2)·≥
＝(x＋y)2＝1，
所以2x2＋3y2≥，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时，等号成立．所以2x2＋3y2的最小值为.
B级 能力提升
1．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为( )
A.，， B.，，
C．1，， D．1，，
解析：当且仅当＝＝时，取到最小值，所以联立可得x＝，y＝，z＝.
答案：B
2．已知ω2＋x2＋y2＋z2＋F2＝16，则F＝8－ω－x－y－z的最大值为________．
解析：当且仅当＝＝时，取到最小值，所以联立可得x＝，y＝，z＝.
答案：B
3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为－1，1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
(1)解：因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为－1，1]，故m＝1.
(2)证明：由①知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，
由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥
＝9.