高中数学选修4-1学业分层测评9 弦切角的性质 Word版含解析

学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图2­4­12所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝(　　)
图2­4­12
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
【解析】　由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC.
∵sin∠ABC＝＝＝＝，故选D.
【答案】　D
2．如图2­4­13，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是(　　)
图2­4­13
A．4　　 B．5
C．6 D．7
【解析】　∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，
∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.
【答案】　B
3.如图2­4­14所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(　　)
图2­4­14
A．2 B．3
C．2 D．4
【解析】　连接BC.∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，
∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，
∴AC＝2，故选C.
【答案】　C
4．如图2­4­15，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于(　　)
【导学号：07370043】
图2­4­15
A．20° B．25°
C．30° D．40°
【解析】　如图，连接OC，BC，
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°.
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠POC＝25°，
∴∠ACP＝∠B＝25°.
【答案】　B
5．如图2­4­16所示，已知AB，AC与⊙O相切于B，C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是(　　)
图2­4­16
A．65°
B．115°
C．65°或115°
D．130°或50°
【解析】　当点P在优弧上时，
由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.
∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.
当P点在劣弧上时，∠BPC＝115°.
故选C.
【答案】　C
二、填空题
6.如图2­4­17所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
　图2­4­17
【解析】　∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB.
又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，
∴△ABD∽△ACB.
∴＝，∴AB2＝AD·AC＝mn，
∴AB＝.
【答案】　
7．如图2­4­18，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上．AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________．
图2­4­18
【解析】　连接OA，
则∠COA＝2∠CBA＝60°，
且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.
又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，
所以OD＝2OA＝4.
【答案】　4
8.如图2­4­19，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
图2­4­19
【解析】　连接OC，∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∵PB＝OB＝2，OC＝2，
∴PC＝2，∵OC·PC＝OP·CD，
∴CD＝＝.
【答案】　
三、解答题
9．如图2­4­20所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT，AT于C，D.
图2­4­20
求证：△CTD为等腰三角形．
【证明】　∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.
又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.
又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，
∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，
∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形．
10．如图2­4­21，AB是⊙O的弦，M是上任一点，过点M的切线与分别以A，B为垂足的直线AD，BC交于D，C两点，过M点作NM⊥CD交AB于点N，求证：MN2＝AD·BC.
图2­4­21
【证明】　连接AM，MB，
因为DA⊥AB，MN⊥CD，
所以∠MDA＋∠MNA＝180°.
又因为∠MNA＋∠MNB＝180°，
所以∠MDA＝∠MNB，
又因为CD为⊙O的切线，所以∠1＝∠2，
所以△ADM∽△MNB，
所以＝，同理＝，
所以＝，即有MN2＝AD·BC.
[能力提升]
1．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝，则CP＝(　　) 【导学号：07370044】
A.　 B．2
C．2－1 D．2＋1
【解析】　如图，连接OP，则OP⊥PA，
又∠APB＝30°，
∴∠POB＝60°，
在Rt△OPA中，由AP＝，
易知，PB＝OP＝1，
在Rt△PCB中，
由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝.
【答案】　A
2．如图2­4­22，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为(　　)
图2­4­22
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　连接BC.
∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.
∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P，
∴BC＝BP＝1.
由△BCP∽△CAP，得
PC2＝PB·PA，
即AC2＝PB·PA.
而AC2＝AB2－BC2，
设⊙O半径为r，
则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.
【答案】　A
3．如图2­4­23，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝__________.
图2­4­23
【解析】　由PA为⊙O的切线，BA为弦，
得∠PAB＝∠BCA.
又∠BAC＝∠APB，
于是△APB∽△CAB，
所以＝.
而PB＝7，BC＝5，
故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝.
【答案】　
4．如图2­4­24，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.
图2­4­24
证明：
(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC.
【证明】　(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝.
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝.
从而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，
所以EF2＝AD·BC.