1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
课时目标 1.了解φ、ω、A对函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响.2.掌握y＝sinx与f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系．
用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
y＝sin(x＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sinx上所有的点______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到．
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A>1时)或________(当0
y＝sinx的图象__________的图象______________的图象______________的图象．
一、选择题
1．要得到y＝sin的图象，只要将y＝sinx的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
2．为得到函数y＝cos(x＋)的图象，只需将函数y＝sinx的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
3．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是( )
A．非奇非偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数
D．偶函数
4．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝cos2xB．y＝1＋cos2x
C．y＝1＋sin(2x＋) D．y＝cos2x－1
5．为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
6．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A．y＝sin，x∈R
B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R
D．y＝sin，x∈R
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝sin2x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f(x)＝____________.
8．将函数y＝sin的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为____________．
9．为得到函数y＝cosx的图象，可以把y＝sinx的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．
10．某同学给出了以下论断：
①将y＝cosx的图象向右平移个单位，得到y＝sinx的图象；
②将y＝sinx的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；
③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象；
④函数y＝sin的图象是由y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到的．
其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．
三、解答题
11．怎样由函数y＝sinx的图象变换得到y＝sin的图象，试叙述这一过程．
12．已知函数f(x)＝sin (x∈R).
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．
能力提升
13．要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin2x的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
14．使函数y＝f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，然后再将其图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y＝sin2x的图象相同，则f(x)的表达式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
1．由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sinxy＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sinxy＝sinωx
y＝sin[ω(x＋)]＝sin(ωx＋φ)
y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
2．类似地y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象也可由y＝cosx的图象变换得到．
1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
答案
知识梳理
1．向左 向右 |φ| 2.缩短 伸长 不变
3．伸长 缩短 A倍 [－A，A] A －A
4．y＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)
作业设计
1．B 2.C 3.D
4．B [将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin2(x＋)，即y＝sin(2x＋)＝cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos2x.]
5．B [y＝sin(2x＋)y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)．]
6．C [把函数y＝sinx的图象上所有的点向左平行移动个单位长度后得到函数y＝sin的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y＝sin的图象．]
7．sin x
8．y＝cos 2x
9.π
解析 y＝sin x＝cos＝cos向右平移φ个单位后得y＝cos，
∴φ＋＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.
∴φ的最小正值是π.
10．①③
11．解 由y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝sin的图象有两种变化途径：
①y＝sinxy＝siny＝sin
②y＝sinxy＝sin2xy＝sin.
12．解 (1)由已知函数化为y＝－sin.欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π (k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为 (k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos＝cos＝cos2.
∵y＝cos2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位即可．
13．A [y＝sin2x＝cos＝cos＝cos＝cos
y＝cos[2(x－＋)－]＝cos(2x－)．]
14．D [方法一 正向变换
y＝f(x)y＝f(2x)y＝f，即y＝f，
所以f＝sin2x.令2x＋＝t，则2x＝t－，∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin.
方法二 逆向变换
据题意，y＝sin2xy＝sin2＝sin
y＝sin.]