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  • 高中数学选修4-5学业分层测评12 Word版含答案

    2020-11-12 高三上册数学人教版

    学业分层测评(十二)
    (建议用时:45分钟)
    [学业达标]
    一、选择题
    1.设f(n)=1+++…+(n∈N+),则f(n+1)-f(n)等于(  )
    A. B.+
    C.+ D.++
    【解析】 因为f(n)=1+++…+,所以f(n+1)=1+++…++++,所以f(n+1)-f(n)=++.故选D.
    【答案】 D
    2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于(  )
    A.1 B.2
    C.3 D.0
    【解析】 边数最少的凸n边形是三角形.
    【答案】 C
    3.已知a1=,an+1=,猜想an等于(  )
    【导学号:32750066】
    A. B.
    C. D.
    【解析】 a2==,
    a3==,
    a4===,
    猜想an=.
    【答案】 D
    4.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…·(n+n)=2n×1×3…(2n-1)时,从“k到k+1”左边需增乘的代数式是(  )
    A.2k+1 B.
    C.2(2k+1) D.
    【解析】 当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)…·(k+1+k+1)=(k+1)·(k+2)·(k+3)…(k+k)·=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)·2(2k+1).
    【答案】 C
    5.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)等于f(k)加上(  )
    A. B.π
    C.2π D.π
    【解析】 从n=k到n=k+1时,
    内角和增加π.
    【答案】 B
    二、填空题
    6.观察式子1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,…,猜想第n个式子应为________.
    【答案】 1-4+9-16+…+(-1)n-1n2
    =(-1)n+1·
    7.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程中,第二步假设n=k时等式成立,则当n=k+1时应得到________.
    【解析】 ∵n=k时,命题为“1+2+22+…+2k-1=2k-1”,
    ∴n=k+1时为使用归纳假设,
    应写成1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1.
    【答案】 1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1
    8.用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N+)能被14整除,当n=k+1时,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1应变形为________.
    【解析】 34(k+1)+1+52(k+1)+1=34k+5+52k+3=81×34k+1+25×52k+1=81×34k+1+81×52k+1-56×52k+1=81×(34k+1+52k+1)-56×52k+1.
    【答案】 81×(34k+1+52k+1)-56×52k+1
    三、解答题
    9.用数学归纳法证明:
    …=(n≥2,n∈N+).
    【证明】 (1)当n=2时,左边=1-=,右边==.
    ∴等式成立.
    (2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,等式成立,
    即…=(k≥2,k∈N+).
    当n=k+1时,

    =·=
    ==,
    ∴当n=k+1时,等式成立.
    根据(1)和(2)知,对n≥2,n∈N+时,等式成立.
    10.用数学归纳法证明:对于任意正整数n,整式an-bn都能被a-b整除.
    【证明】 (1)当n=1时,an-bn=a-b能被a-b整除.
    (2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,ak-bk能被a-b整除,那么当n=k+1时,ak+1-bk+1=ak+1-akb+akb-bk+1=ak(a-b)+b(ak-bk).因为(a-b)和ak-bk都能被a-b整除,所以上面的和ak(a-b)+b(ak-bk)也能被a-b整除.这也就是说当n=k+1时,ak+1-bk+1能被a-b整除.
    根据(1)(2)可知对一切正整数n,an-bn都能被a-b整除.
    [能力提升]
    1.设f(n)=+++…+(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于(  )
    【导学号:32750067】
    A. B.
    C.+ D.-
    【解析】 因为f(n)=++…+,
    所以f(n+1)=++…+++,
    所以f(n+1)-f(n)=+-=-.
    【答案】 D
    2.某同学回答“用数学归纳法证明<n+1(n∈N+)的过程如下:
    证明:(1)当n=1时,显然命题是正确的:
    (2)假设n=k时有<k+1,那么当n=k+1时,=<=(k+1)+1,所以当n=k+1时命题是正确的.由(1)(2)可知对于n∈N+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于(  )
    A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设
    B.归纳假设的写法不正确
    C.从k到k+1的推理不严密
    D.当n=1时,验证过程不具体
    【解析】 证明<(k+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用归纳假设<k+1.
    【答案】 A
    3.用数学归纳法证明22+32+…+n2=-1(n∈N+,且n>1)时,第一步应验证n=________,当n=k+1时,左边的式子为________.
    【解析】 ∵所证明的等式为
    22+32+…+n2=-1(n∈N+,n>1).
    又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值),
    ∴n应为2.
    又∵当n=k+1时,等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的n换成k+1,
    即22+32+…+k2+(k+1)2.
    【答案】 2 22+32+…+k2+(k+1)2
    4.是否存在常数a,b,c使等式(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.
    【解】 存在.分别用n=1,2,3代入,解方程组得
    故原等式右边=-.
    下面用数学归纳法证明.
    (1)当n=1时,由上式可知等式成立.
    (2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时等式成立,即(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=k4-k2.
    则当n=k+1时,
    左边=[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+…+k[(k+1)2-k2]+(k+1)·[(k+1)2-(k+1)2]=(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=k4-k2+(2k+1)·=(k+1)4-(k+1)2,故n=k+1时,等式成立.
    由(1)(2)得等式对一切n∈N+均成立.
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