评估验收卷(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：M的极坐标为，(k∈Z)，取k＝－1得.
答案：D
2．圆ρ＝2cos的圆心为( )
A. B.
C. D.
解析：由ρ＝2cos得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，
所以x2＋y2＝x－y，
所以＋＝1，
圆心的直角坐标为，极坐标为.
答案：D
3．将y＝sin x的图象横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为( )
A．y＝2sinx B．y＝sin 2x
C．y＝2sin 2x D．y＝sin x
解析：
答案：D
4．点A的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A．(－2，2，－2) B．(－2，2，2)
C．(－2，－2，2) D．(2，2，－2)
解析：
答案：A
5．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点坐标对称
C．重合
D．关于直线θ＝对称
解析：因为点(－ρ，π－θ)与点(ρ，－θ)为同一个点，它与(ρ，θ)关于极轴所在的直线对称．
答案：A
6．直角坐标B化为柱坐标是( )
A. B.
C. D.
解析：因为ρ＝＝2，tan θ＝－，θ角的终边过点(－3，，0)，故θ＝，所以化为柱坐标为.
答案：C
7．在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为( )
A．ρ＝－4cos θ B．ρcos θ－1＝0
C．ρsin θ＝－ D．ρ＝－sin θ
解析：设M(ρ，θ)为直线上除以外的任意一点，则有ρcos θ＝2·cos ，则ρcos θ＝1，经检验符合方程．
答案：B
8．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q的最短距离等于( )
A.－1 B.－1
C．1 D.
解析：将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0，1)，则P到Q的最短距离为Q与圆心的距离减去半径的长度，即－1.
答案：A
9．在极坐标系中，直线ρcos θ＝1与圆ρ＝cos θ的位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不经过圆心
C．相离
D．相交且直线经过圆心
解析：直线ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x＝1，圆ρ＝cos θ，即ρ2＝ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0，即＋y2＝与直线x＝1相切．
答案：A
10．极坐标系方程θ＝，θ＝(ρ≥0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形的面积是( )
A. B.
C. D.
解析：如图所示，
射线θ＝，θ＝(ρ≥0)与圆ρ＝4围成的图形面积是阴影扇形的面积：×42×＝.
答案：B
11．点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：点M的直角坐标为＝，直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，点关于直线y＝x的对称点为(－，－)，再化为极坐标为.
答案：A
12．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝4上有3个不同的点到曲线C2：ρsin＝m的距离等于2，则m的值为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．0
解析：曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝16，曲线C2的极坐标方程化为ρsin θ＋ρcos θ＝m，化为直角坐标方程为y＋x＝m，即x＋y－m＝0，
由题意曲线C1的圆心(0，0)到直线C2的距离为2，则＝2，故m＝±2.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在极坐标系中，已知点A，B，O(0，0)，则△ABO的形状是________________．
解析：因为A，B，所以∠BOA＝，
又因为|OA|＝2，|OB|＝，所以|AB|＝，
所以∠ABO为直角，所以△ABO为等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
14．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程为_____________．
解析：将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ代入ρ2＋ρ2sin2θ＝2中得x2＋y2＋y2＝2，即＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
15．已知圆的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos θ＋sin θ)＝5，则此圆被直线θ＝0截得的弦长为________．
解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为(x＋1)2＋(y＋)2＝9和y＝0，
所以弦长＝2＝2×＝2.
答案：2
16．在极坐标系中，设曲线C1：ρ＝2sin θ与C2：ρ＝2cos θ的交点分别为A，B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为________．
解析：曲线C1：ρ＝2sin θ即ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
标准方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心C1(0，1)；
曲线C2：ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，
化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，
标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心C2(1，0)；
线段AB的垂直平分线即两圆心所在的直线C1C2，
直角坐标方程为x＋y－1＝0，
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.
答案：ρsin＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中，
令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1，0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径
PC＝ ＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，求圆C的极坐标方程．
解：法一 设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，
则PC＝R＝.
由余弦定理，得ρ2＋22－2×2×ρcos＝5.
化简，得ρ2－4ρcos－1＝0，
此即为所求的圆C的方程．
法二 将圆心C化成直角坐标为(1，)，
半径R＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.
把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入化简，
得ρ2－4ρcos－1＝0，
此即为所求的圆C的方程．
19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点Q的轨迹的极坐标方程．
解：以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设P(1，2θ)，Q(ρ，θ)，则由S△OQA＋S△OQP＝S△OAP得·3ρsin θ＋ρsin θ＝×3×1×sin 2θ，化简得ρ＝cos θ.所以Q点的轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ.
20．(本小题满分12分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．
解：将曲线C1，C2化为直角坐标方程，
得C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，
即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2.
圆心到直线的距离d＝＝>，
所以曲线C1与C2相离．
21．(本小题满分12分)在极坐标系中，O为极点，点A关于极轴的对称点为B.
(1)求点B的极坐标和直线AB的极坐标方程；
(2)求△AOB外接圆的极坐标方程．
解：(1)在极坐标系中，O为极点，点A关于极轴的对称点为B.
则|OA|＝|OB|＝2，∠BOx＝，
故点B的极坐标为，k∈Z.
由于直线AB的直角坐标方程为x＝1，化为极坐标方程为ρcos θ＝1.
(2)如图，△AOB外接圆的圆心C在极轴上，且CA＝CO，∠AOC＝.
故△AOC为等边三角形，
于是C(2，0)，半径r＝2，△AOB外接圆的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
即x2＋y2－4x＝0.
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，
所以ρ2＝4ρcos θ，故ρ＝4cos θ为所求．
22．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1，Q点在圆周上运动，O为极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．
解：如图所示，(1)设M(ρ，θ)为圆C上任意一点，在△OCM中，|CM|＝1，
∠COM＝，
根据余弦定理得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos，化简整理得ρ2－6·ρ·cos＋8＝0，即为所求圆C的极坐标方程．
(2)设Q(ρ1，θ1)，则有ρ－6·ρ1cos＋8＝0.①
设P(ρ，θ)，则|OQ|∶|QP|＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3或
|OQ|∶|QP|＝ρ1∶(ρ1＋ρ)＝2∶3.
当ρ1＝ρ时，又θ1＝θ，即
代入①得ρ2－6·ρ·cos＋8＝0，整理得
ρ2－15ρcos＋50＝0，即为所求P点的轨迹方程．
当ρ1＝2ρ时，又θ1＝θ－π，
同理可得ρ2＋3ρ·cos＋2＝0.
所以点P的轨迹方程为ρ2－15ρcos＋50＝0或ρ2＋3ρcos＋2＝0.