高中数学选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 Word版含答案

学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－2x　　　　 B．y2＝2x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
【解析】　由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.
【答案】　B
2．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
【解析】　因为双曲线－＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.
【答案】　A
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于(　　)
A. B.
C．2 D．2
【解析】　抛物线的焦点为(，0)，即c＝.双曲线的渐近线方程为y＝x，由＝，即b＝a，所以b2＝2a2＝c2－a2，所以c2＝3a2，即e2＝3，e＝，即离心率为.
【答案】　B
4．抛物线y2＝12x的准线与双曲线－＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为(　　)
A．3 B．2
C．2 D.
【解析】　抛物线y2＝12x的准线为x＝－3，双曲线的两条渐近线为y＝±x，它们所围成的三角形为边长等于2的正三角形，所以面积为3，故选A.
【答案】　A
5．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
【解析】　由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p.故选C.
【答案】　C
二、填空题
6．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
【解析】　抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.
【答案】　2
7．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
【解析】　抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】　②④
8．抛物线y＝2x2的准线方程为________．
【解析】　化方程为标准方程为x2＝y，故＝，开口向上，
∴准线方程为y＝－.
【答案】　y＝－
三、解答题
9．求焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程．
【解】　由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
则焦点为.
∵焦点在双曲线－＝1上，
∴＝1，求得m＝±4，
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
10．已知平面上动点P到定点F(1，0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程. 【导学号：18490069】
【解】　法一　设点P的坐标为(x，y)，
则有＝|x|＋1.
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝
即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
法二　由题意知，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
[能力提升]
1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为(　　)
A．2 B．4
C. D.＋1
【解析】　将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1，0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为＝2，故选A.
【答案】　A
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O为原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)
A. B.
C. D．2
【解析】　根据题意画出简图(图略)，设∠AFO＝θ(0<θ<π)，|BF|＝m，则点A到准线l：x＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cos θ＝，又m＝2＋mcos(π－θ)，得m＝＝，△AOB的面积为S＝·|OF|·|AB|·sin θ＝×1××＝，故选C.
【答案】　C
3．如图2­4­1是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________m.
图2­4­1
【解析】　以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
则A(2，－2)，代入方程得p＝1，
∴抛物线的方程为x2＝－2y，
设B(x0，－3)(x0<0)代入方程得x0＝－.
∴此时的水面宽度为2 m.
【答案】　2
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，点M是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】
(1)求抛物线的方程；
(2)求双曲线的方程．
【解】　(1)把M代入方程y2＝2px，
得p＝2，
因此抛物线的方程为y2＝4x.
(2)抛物线的准线方程为x＝－1，所以F1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F，则F(1，0)，
于是2a＝||MF1|－|MF||＝＝，
因此a＝.
又因为c＝1，所以b2＝c2－a2＝，
于是，双曲线的方程为－＝1.