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    2021-02-16 高三上册数学人教版

    学业分层测评(四)
    (建议用时:45分钟)
    [学业达标]
    一、选择题
    1.已知a,b,c∈R,且a>b>c,则有(  )
    A.|a|>|b|>|c| B.|ab|>|bc|
    C.|a+b|>|b+c| D.|a-c|>|a-b|
    【解析】 当a,b,c均为负数时,则A,B,C均不成立,
    如a=-1,b=-2,c=-3时,有|a|<|b|<|c|,故A错;
    |ab|=2,而|bc|=6,此时|ab|<|bc|,故B错;
    |a+b|=3,|b+c|=5,与C中|a+b|>|b+c|矛盾,故C错;只有D正确.故选D.
    【答案】 D
    2.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系为(  )
    A.m>n B.mC.m=n D.m≤n
    【解析】 由|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,得≤1,≥1.
    【答案】 D
    3.已知a,b∈R,ab>0,则下列不等式中不正确的是(  )
    A.|a+b|>a-b B.2≤|a+b|
    C.|a+b|<|a|+|b| D.≥2
    【解析】 当ab>0时,|a+b|=|a|+|b|,C错.
    【答案】 C
    4.若|a-c|<b,则下列不等式不成立的是(  )
    A.|a|<|b|+|c| B.|c|<|a|+|b|
    C.b>||c|-|a|| D.b<||a|-|c||
    【解析】 b>|a-c|>|a|-|c|,
    b>|a-c|>|c|-|a|,故A,B成立,
    ∴b>||a|-|c||,故C成立.
    应选D(此题代入数字也可判出).
    【答案】 D
    5.“|x-a|<m且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,a,m∈R)的(  )
    【导学号:32750020】
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    【解析】 ∵|x-a|<m,|y-a|<m,
    ∴|x-a|+|y-a|<2m.
    又∵|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|,
    ∴|x-y|<2m,但反过来不一定成立,
    如取x=3,y=1,a=-2,m=2.5,|3-1|<2×2.5,
    但|3-(-2)|>2.5,|1-(-2)|>2.5,
    ∴|x-y|<2m不一定有|x-a|<m且|y-a|<m,故“|x-a|<m且|y-a|<m”是“|x-y|<2m(x,y,a,m∈R)”的充分不必要条件.
    【答案】 A
    二、填空题
    6.设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是________.
    【解析】 因为a,b∈R,则|a-b|>2,其几何意义是数轴上表示数a,b的两点间距离大于2,|x-a|+|x-b|的几何意义为数轴上任意一点到a,b两点的距离之和,当x处于a,b之间时|x-a|+|x-b|取最小值,距离恰为a,b两点间的距离,由题意知其恒大于2,故原不等式解集为R.
    【答案】 R
    7.下列四个不等式:
    ①logx10+lg x≥2(x>1);
    ②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);
    ④|x-1|+|x-2|≥1.
    其中恒成立的是________(填序号).
    【解析】 logx10+lg x=+lg x≥2,①正确.
    ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;
    ∵ab≠0,与同号,
    ∴=+≥2,③正确;
    由|x-1|+|x-2|的几何意义知
    |x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确.
    综上,①③④正确.
    【答案】 ①③④
    8.已知α,β是实数,给出三个论断:
    ①|α+β|=|α|+|β|;
    ②|α+β|>5;
    ③|α|>2,|β|>2.
    以其中的两个论断为条件,另一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题是________.
    【解析】 ①,③成立时,则|α+β|=|α|+|β|>4>5.
    【答案】 ①③⇒②
    三、解答题
    9.设ε>0,|x-a|<,|y-b|<.求证:|2x+3y-2a-3b|<ε.
    【证明】 ∵|2x+3y-2a-3b|=|2(x-a)+3(y-b)|≤2|x-a|+3|y-b|<2×+3×=ε.
    10.设函数f(x)=+|x-a|(a>0).
    (1)证明:f(x)≥2;
    (2)若f(3)<5,求a的取值范围.
    【解】 (1)证明:由a>0,有f(x)=+|x-a|≥=+a≥2,所以f(x)≥2.
    (2)f(3)=+|3-a|.
    当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3当0综上,a的取值范围是.
    [能力提升]
    1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1| 的最小值为(  )
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    【解析】 ∵x,y∈R,∴|x-1|+|x|≥|(x-1)-x|=1,
    |y-1|+|y+1|≥|(y-1)-(y+1)|=2,
    ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥3.
    ∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.
    【答案】 C
    2.以下三个命题:
    (1)若|a-b|<1,则|a|<|b|+1;
    (2)若a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|;
    (3)若|x|<2,|y|>3,则<.
    其中正确的有________个.
    【解析】 (1)1>|a-b|≥|a|-|b|,
    ∴1+|b|>|a|成立,(1)正确;
    (2)|a+b|-2|a|=|a+b|-|2a|≤|a+b-2a|=|a-b|正确;
    (3)=<<,正确.
    【答案】 3
    3.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是________.
    【导学号:32750021】
    【解析】 |x-a|+|x-1|≥|a-1|,则只需要|a-1|≤3,解得-2≤a≤4.
    【答案】 -2≤a≤4
    4.若1<a<8,-4<b<2,则a-|b|的取值范围是____________.
    【解析】 ∵-4<b<2,则0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0.
    又∵1<a<8,∴-3<a-|b|<8.
    【答案】 (-3,8)
    5.设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|<a.
    【证明】 因为|x-1|<,|y-2|<,
    所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2×+=a.
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