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[学业达标]
一、选择题
1．已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则有( )
A．|a|＞|b|＞|c| B．|ab|＞|bc|
C．|a＋b|＞|b＋c| D.|a－c|＞|a－b|
【解析】 当a，b，c均为负数时，则A，B，C均不成立，
如a＝－1，b＝－2，c＝－3时，有|a|＜|b|＜|c|，故A错；
|ab|＝2，而|bc|＝6，此时|ab|＜|bc|，故B错；
|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，与C中|a＋b|＞|b＋c|矛盾，故C错；只有D正确．故选D.
【答案】 D
2．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系为( )
A．m>n B．m
【解析】 由|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，得≤1，≥1.
【答案】 D
3．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确的是( )
A．|a＋b|＞a－b B．2≤|a＋b|
C．|a＋b|<|a|＋|b| D.≥2
【解析】 当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，C错．
【答案】 C
4．若|a－c|＜b，则下列不等式不成立的是( )
A．|a|＜|b|＋|c| B．|c|＜|a|＋|b|
C．b＞||c|－|a|| D.b＜||a|－|c||
【解析】 b＞|a－c|＞|a|－|c|，
b＞|a－c|＞|c|－|a|，故A，B成立，
∴b＞||a|－|c||，故C成立．
应选D(此题代入数字也可判出)．
【答案】 D
5．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的( )
【导学号：32750020】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，
∴|x－a|＋|y－a|＜2m.
又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，
∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，
如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，
但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，
∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m(x，y，a，m∈R)”的充分不必要条件．
【答案】 A
二、填空题
6．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．
【解析】 因为a，b∈R，则|a－b|>2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于2，|x－a|＋|x－b|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b之间时|x－a|＋|x－b|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.
【答案】 R
7．下列四个不等式：
①logx10＋lg x≥2(x＞1)；
②|a－b|＜|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；
④|x－1|＋|x－2|≥1.
其中恒成立的是________(填序号)．
【解析】 logx10＋lg x＝＋lg x≥2，①正确．
ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
∵ab≠0，与同号，
∴＝＋≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确．
综上，①③④正确．
【答案】 ①③④
8．已知α，β是实数，给出三个论断：
①|α＋β|＝|α|＋|β|；
②|α＋β|>5；
③|α|>2，|β|>2.
以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．
【解析】 ①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5.
【答案】 ①③⇒②
三、解答题
9．设ε>0，|x－a|<，|y－b|<.求证：|2x＋3y－2a－3b|<ε.
【证明】 ∵|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤2|x－a|＋3|y－b|<2×＋3×＝ε.
10．设函数f(x)＝＋|x－a|(a>0)．
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)<5，求a的取值范围．
【解】 (1)证明：由a>0，有f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2，所以f(x)≥2.
(2)f(3)＝＋|3－a|.
当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5，得3
[能力提升]
1．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1| 的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D.4
【解析】 ∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥3.
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
【答案】 C
2．以下三个命题：
(1)若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；
(2)若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
(3)若|x|＜2，|y|＞3，则＜.
其中正确的有________个．
【解析】 (1)1＞|a－b|≥|a|－|b|，
∴1＋|b|＞|a|成立，(1)正确；
(2)|a＋b|－2|a|＝|a＋b|－|2a|≤|a＋b－2a|＝|a－b|正确；
(3)＝＜＜，正确．
【答案】 3
3．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________.
【导学号：32750021】
【解析】 |x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
【答案】 －2≤a≤4
4．若1＜a＜8，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是____________．
【解析】 ∵－4＜b＜2，则0≤|b|＜4，∴－4＜－|b|≤0.
又∵1＜a＜8，∴－3＜a－|b|＜8.
【答案】 (－3,8)
5．设a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.
【证明】 因为|x－1|＜，|y－2|＜，
所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.