学业分层测评（十五）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知an＝(－1)n，数列{an}的前n项和为Sn，则S9与S10的值分别是( )
A．1,1 B．－1，－1 C．1,0 D．－1,0
【解析】 S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1.
S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0.
【答案】 D
2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )
A．31 B．33 C．35 D．37
【解析】 根据等比数列性质得＝q5，
∴＝25，∴S10＝33.
【答案】 B
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )
A．7 B．8 C．15 D．16
【解析】 设{an}的公比为q，
∵4a1,2a2，a3成等差数列，
∴4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，
即q2－4q＋4＝0，
∴q＝2，
又a1＝1，
∴S4＝＝15，故选C.
【答案】 C
4．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135 B．100
C．95 D．80
【解析】 由等比数列的性质知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，
其首项为40，公比为＝.
∴a7＋a8＝40×3＝135.
【答案】 A
5．数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a30＋b30＝60，则{an＋bn}的前30项的和为( )
A．1 000 B．1 020 C．1 040 D．1 080
【解析】 {an＋bn}的前30项的和S30＝(a1＋b1)＋(a2＋b2)＋…＋(a30＋b30)＝(a1＋a2＋a3＋…＋a30)＋(b1＋b2＋b3＋…＋b30)＝＋＝15(a1＋a30＋b1＋b30)＝1 080.
【答案】 D
二、填空题
6．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.
【解析】 设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，
S奇＝.
由题意得＝.
∴1＋q＝3，∴q＝2.
【答案】 2
7．数列11,103,1 005,10 007，…的前n项和Sn＝________.
【解析】 数列的通项公式an＝10n＋(2n－1)．
所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝＋＝(10n－1)＋n2.
【答案】 (10n－1)＋n2
8．如果lg x＋lg x2＋…＋lg x10＝110，那么lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝________.
【解析】 由已知(1＋2＋…＋10)lg x＝110，
∴55lg x＝110.∴lg x＝2.
∴lg x＋lg2x＋…＋lg10x＝2＋22＋…＋210＝211－2＝2 046.
【答案】 2 046
三、解答题
9．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值. 【导学号：05920073】
【解】 ∵S30≠3S10，∴q≠1.
由得
∴
∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，
∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
10．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，求数列的前5项和．
【解】 若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6得9×＝，解得q＝2.故an＝a1qn－1＝2n－1，＝n－1.
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5＝＝.
[能力提升]
1．(2015·广州六月月考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
【解析】 在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
【答案】 A
2．设数列{an}的前n项和为Sn，称Tn＝为数列a1，a2，a3，…，an的“理想数”，已知数列a1，a2，a3，a4，a5的理想数为2 014，则数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为( )
A．1 673 B．1 675 C. D.
【解析】 因为数列a1，a2，…，a5的“理想数”为2 014，所以＝2 014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2 014，所以数列2，a1，a2，…，a5的“理想数”为＝＝.
【答案】 D
3．已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，则an＝________.
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为
an＝×－n－1
＝(－1)n－1×.
【答案】 (－1)n－1×
4．(2015·重庆高考)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)设{an}的公差为d，则由已知条件得
a1＋2d＝2,3a1＋d＝，
化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝，
解得a1＝1，d＝，
故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝.
(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.
设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，
故{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.