第三章 3.3 第1课时
一、选择题
1．不在3x＋2y＜6表示的平面区域内的点是( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)
[答案] D
[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知，只有(2,0)点不满足3x＋2y＜6.
2．不等式组，表示的区域为D，点P1(0，－2)，点P2(0,0)，则( )
A．P1∉D，P2∉D B．P1∉D，P2∈D
C．P1∈D，P2∉D D．P1∈D，P2∈D
[答案] A
[解析] P1点不满足y≥3.P2点不满足y＜x.和y≥3
∴选A．
3．已知点P(x0，y0)和点A(1,2)在直线l：3x＋2y－8＝0的异侧，则( )
A．3x0＋2y0>0 B．3x0＋2y0<0
C．3x0＋2y0<8 D．3x0＋2y0>8
[答案] D
[解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，P与A在直线l异侧，∴3x0＋2y0－8>0.
4．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 取原点O(0,0)检验满足x＋y－1≤0，故异侧点应为x＋y－1≥0，排除B、D．
O点满足x－2y＋2≥0，排除C．
∴选A．
5．不等式x2－y2≥0表示的平面区域是( )
[答案] B
[解析] 将(±1,0)代入均满足知选B．
6．不等式组表示的平面区域是一个( )
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
[答案] C
[解析] 画出直线x－y＋5＝0及x＋y＝0，
取点(0,1)代入(x－y＋5)(x＋y)＝4>0，知点(0,1)在不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x＝0和x＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．
二、填空题
7．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．
[答案] 6
[解析] 符合条件的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)共6个．
8．用三条直线x＋2y＝2,2x＋y＝2，x－y＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．
[答案]
三、解答题
9．画出不等式组表示的平面区域．
[解析] 不等式x＋y－6≥0表示在直线x＋y－6＝0上及右上方的点的集合，x－y≥0表示在直线x－y＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x＝5左方的点的集合，所以不等式组 表示的平面区域为如图阴影部分．
10．经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连结A(1，－2)、B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
[解析]
由题意知直线l斜率存在，设为k.
则可设直线l的方程为kx－y－1＝0，
由题知：A、B两点在直线l上或在直线l的两侧，所以有：
(k＋1)(2k－2)≤0
∴－1≤k≤1.
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若点A(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(0,1)
[答案] B
[解析] 在直线方程x－2y＋4＝0中，令x＝－2，则y＝1，则点P(－2,1)在直线x－2y＋4＝0上，又点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，如图知，t的取值范围是t>1，故选B．
2．不等式组表示的平面区域是( )
A．两个三角形 B．一个三角形
C．梯形 D．等腰梯形
[答案] B
[解析] 如图
∵(x－y＋1)(x＋y＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域．且两直线交于点A(－1,0)．故添加条件－1≤x≤4后表示的区域如图(2)．
3．不等式组表示的平面区域的面积是( )
A．18 B．36
C．72 D．144
[答案] B
[解析] 作出平面区域如图．
交点A(－3,3)、B(3、9)、C(3，－3)，
∴S△ABC＝[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.
4．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 画出表示的平面区域如图，直线l：y＝ax＋1过定点(0,1)，由于ax－y＋1≥0与
围成平面区域的面积为2，∴a>0，令x＝1得y＝a＋1，∴×(a＋1)×1＝2，∴a＝3.
二、填空题
5．点P(1，a)到直线x－2y＋2＝0的距离为，且P在3x＋y－3＞0表示的区域内，则a＝________.
[答案] 3
[解析] 由条件知，＝，∴a＝0或3，又点P在3x＋y－3＞0表示的区域内，∴3＋a－3＞0，
∴a＞0，∴a＝3.
6．不等式表示的平面区域的面积是________．
[答案] 6
[解析] 作出平面区域如图△ABC，A(－1,0)、B(1,2)、C(1，－4)，S△ABC＝·|BC|·d＝×6×2＝6.
(d表示A到直线BC的距离．)
三、解答题
7．求由约束条件确定的平面区域的面积S和周长C．
[解析] 可行域如图所示，其四个顶点为O(0,0)，B(3,0)，A(0,5)，P(1,4)．过点P作y轴的垂线，垂足为C，则AC＝1，PC＝1，
OC＝4，OB＝3，AP＝，PB＝＝2，得周长C＝AO＋BO＋AP＋PB＝8＋＋2.
∵S△ACP＝AC·PC＝，
S梯形COBP＝(CP＋OB)·OC＝8，∴面积S＝S△ACP＋S梯形COBP＝.
8．画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域．
[解析] (x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示x＋2y＋1与x－y＋4的符号相反，因此原不等式等价于两个不等式组与在同一直角坐标内作出两个不等式组表示的平面区域，就是原不等式表示的平面区域．
在直角坐标系中画出直线x＋2y＋1＝0与x－y＋4＝0，(画成虚线)取原点(0,0)可以判断．
不等式x＋2y＋1＞0表示直线x＋2y＋1＝0的右上方区域，x＋2y＋1＜0表示直线x＋2y＋1＝0的左下方区域；x－y＋4＜0表示直线x－y＋4＝0的左上方区域，x－y＋4＞0表示直线x－y＋4＝0的右下方区域．
所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示．