一、选择题
1．下列有关数列的说法正确的是( )
①同一数列的任意两项均不可能相同；
②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；
③数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② B．①③
C．②③ D．③
[答案] D
[解析] ①是错误的，例如无穷个3构成的常数列3,3,3，…的各项都是3；②是错误的，数列－1,0,1与数列1,0，－1各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故选D.
2．下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数．
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点．
③数列的项数是无限的．
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是( )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①②③④
[答案] A
[解析] 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列通项的表示式可以不唯一．例如数列1,0，－1,0,1,0，－1,0，…的通项可以是an＝sin，也可以是an＝cos等等．
3．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项( )
A．18 B．21
C．25 D．30
[答案] D
[解析] 依次令n(n＋1)＝18,21,25和30检验．有正整数解的便是，知选D.
4．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
[答案] A
[解析] an＝＝1－，随着n的增大而增大．
5．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n)
C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)
[答案] B
[解析] 当n＝1时，a1＝1排除C、D；当n＝2时，a2＝－3排除A，故选B.
6．已知数列，，2，，…，则2可能是这个数列的( )
A．第6项 B．第7项
C．第10项 D．第11项
[答案] B
[解析] 调整为：，，，，可见每一项都含有根号．且被开方数后一项比前一项多3，又2＝，∴应是后的第3项，即第7项，选B.
二、填空题
7.，，，，，…的一个通项公式是________．
[答案] an＝
[解析] ＝，＝，＝，＝，＝，…，∴an＝.
8．已知数列，，，，，…，那么3是这个数列的第________项．
[答案] 25
[解析] 观察可见，数列中的后一项被开方数比前一项大4，a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，∴an＝＝，
令＝3得n＝25，∴a25＝3.
三、解答题
9．写出下列数列的一个通项公式．
(1)－，，－，，…；
(2)2,3,5,9,17,33，…；
(3)，，，，，…；
(4)1，，2，，…；
(5)－，，－，，…；
(6)2,6,12,20,30，….
[解析] (1)符号规律(－1)n，分子都是1，分母是n2＋1，∴an＝(－1)n·.
(2)a1＝2＝1＋1，a2＝3＝2＋1，a3＝5＝22＋1，
a4＝9＝23＋1，a5＝17＝24＋1，a6＝33＝25＋1，
∴an＝2n－1＋1.
(3)a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝…，
∴an＝.
(4)a1＝1＝，a2＝，a3＝2＝，a4＝…，
∴an＝.
(5)a1＝－＝－，a2＝＝，a3＝－＝－，a4＝＝，
∴an＝(－1)n·.
(6)a1＝2＝1×2，a2＝6＝2×3，a3＝12＝3×4，a4＝20＝4×5，a5＝30＝5×6，∴an＝n(n＋1)．
10．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n，求a5.
[解析] ∵a1＝2，an＋1＝an＋n，
∴当n＝1时，a2＝a1＋1＝2＋1＝3；
当n＝2时，a3＝a2＋2＝3＋2＝5；
当n＝3时，a4＝a3＋3＝5＋3＝8；
当n＝4时，a5＝a4＋4＝8＋4＝12，即a5＝12.
一、选择题
1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1000＝( )
A．1 B．1999
C．1000 D．－1
[答案] A
[解析] a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．
2．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是( )
[答案] A
[解析] 据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.
3．若数列的前4项分别为2,0,2,0，则这个数列的通项公式不能是( )
A．an＝1＋(－1)n＋1
B．an＝1－cosnπ
C．an＝2sin2
D．an＝1＋(－1)n－1＋(n－1)(n－2)
[答案] D
[解析] 当n＝1时，D不满足，故选D.
4．函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3 (n∈N*)，则f(n)是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，
∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…，
f(n＋1)>f(n)，…，
∴f(n)是递增数列．
二、填空题
5．已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋，则a6＝__________.
[答案] －
[解析] an＋1＝2＋＝，a1＝－2，
∴a2＝＝，a3＝＝6，a4＝－，
a5＝，a6＝－.
6．已知数列{an}的通项公式an＝，则a2·a3＝__________.
[答案] 20
[解析] (1)可见偶数项为0，∴a12＝0.
(2)相当于分段函数求值，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2·a3＝20.
三、解答题
7．已知数列{an}中，an＝，判断数列{an}的增减性．
[解析] an＋1＝，
则an＋1－an＝－
＝＝.
∵n∈N*，∴n＋2>0，n＋1>0，
∴>0，
∴an＋1>an.∴数列{an}是递增数列．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)求数列{an}中有多少项是负数？
(2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[解析] (1)令an＝n2－5n＋4<0，解得1
即数列{an}中有两项是负数．
(2)an＝n2－5n＋4＝(n－)2－，
∴当n＝2或3时，an取得最小值，最小值为－2.