阶段质量检测（一） B卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )
A．(π，0) B．(π，2π)
C．(－π，0) D．(－2π，0)
解析：选A x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，所以化为直角坐标为(π，0)．
2．在极坐标系中，已知A、B，则OA、OB的夹角为( )
A. B．0
C. D.
解析：选C
如图所示，夹角为.
3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后为( )
A．y＝cos x B．y＝3cos
C．y＝2cos D．y＝cos 3x
解析：选A 由得
代入y＝cos 2x，得＝cos x′.
∴y′＝cos x′，即曲线y＝cos x.
4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A. B. C．(1,0) D．(1，π)
解析：选B 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
5．曲线θ＝与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( )
A．1 B. C．3 D．6
解析：选C 极坐标方程θ＝，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C，∠AOC＝，∴|AO|＝2×3×cos ＝6×＝3.
6．点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )
A. B. C. D.
解析：选A 法一：点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点为，即.
法二：点M的直角坐标为＝－，－，
直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，
点关于直线y＝x的对称点为－，－，
再化为极坐标即.
7．极坐标方程ρsin2θ－2cos θ＝0表示的曲线是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
解析：选C 由ρsin2θ－2cos θ＝0，得ρ2sin2θ－2ρcos θ＝0，
∴化为直角坐标方程是y2－2x＝0，即x＝y2，表示抛物线．
8．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )
A．ρcos θ＝ B．ρcos θ＝2
C．ρ＝4sin D．ρ＝4sin
解析：选B 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，
即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.
由所给的选项中ρcos θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．
9．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( )
A. B. C．2 D．2
解析：选B 圆ρ＝4cos θ的圆心C(2,0)，如图，|OC|＝2，
在Rt△COD中，∠ODC＝，∠COD＝，
∴|CD|＝.
10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )
A．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r
B．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
C.ρ(sin θ＋cos θ)＝r
D.ρ(sin θ＋cos θ)＝－r
解析：选D 圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①
圆ρ＝－2rsin＝－2rsin θcos ＋cos θsin ＝－r(sin θ＋cos θ)．
两边同乘以ρ得ρ2＝－r(ρsin θ＋ρcos θ)
∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＋rx＋ry＝0.②
①－②整理得(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线(x＋y)＝－r化为极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－r.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程为________．
解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0，
取θ－α＝.
答案：θ＝＋α
13换题内容
13．(2015·金华高二检测)极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为________．
12．在极坐标系中，若过点A(4,0)的直线l与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
解析：
将ρ2＝4ρcos θ－3化为直角坐标方程得(x－2)2＋y2＝1，如图易得－≤k≤.
答案：
13．已知点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，
由得
由得即
∴点M的直角坐标为，球坐标为.
答案：
14．在极坐标系中，定点A(1，)，点B在直线l：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________．
解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A化为直角坐标得A(0,1)，如图，过A作AB⊥直线l于B，因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，
则|OB|＝，θ＝，故B点的极坐标是B.
答案：
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在极坐标系中，求圆心A为，半径为1的圆的极坐标方程．
解：在极坐标系中，设点P(ρ，θ)是圆上任意一点，则有
r2＝OP2＋OA2－2OP·OA·cos，
即1＝ρ2＋1－2ρcos.
即ρ2－2ρcos＝0为所求圆的极坐标方程．
16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cos θ与ρcos＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
解：ρ＝－2cos θ可变为ρ2＝－2ρcos θ，
化为普通方程为x2＋y2＝－2x，
即(x＋1)2＋y2＝1表示圆，
圆心为(－1,0)，半径为1.
将ρcos＝1化为普通方程为x－y－2＝0，
∵圆心(－1,0)到直线的距离为＝＞1，
∴直线与圆相离．
17．(本小题满分12分)极坐标系中，求点(m＞0)到直线ρcos＝2的距离．
解：将直线极坐标方程化为ρcos θcos ＋sin θsin ＝2，化为直角坐标方程为x＋y－4＝0，
点的直角坐标为，
∴点到直线x＋y－4＝0的距离为＝＝|m－2|.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r＝1，P在圆C上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．
解：(1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，
由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos，
所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.
(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，
由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圆C上，
所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，
则Q的直角坐标方程为2＋2＝.
19．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径PC
＝ ＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)∵ρcos＝1，
∴ρcos θ·cos＋ρsin θ·sin＝1.
又∴x＋y＝1.
即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.
∴M(2,0)，N.
∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.
(2)M、N连线的中点P的直角坐标为，
直线OP的极角为θ＝.
∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．